【发表说明】

本文适合于所有理工科老师阅读——无论您是否教线性代数、或是否教高等数学，文中所述的教学与教材编写的一般性原理，对各学科都是普适的。

本文分为两个部分。

第一部分是王珏老师对有效教学原理（尤其是数学）的阐释

第二部分则是对MIT Gilbert Strang老爷子新书——《斯特朗线性代数》的评述，由复旦数学学院 杨劲根老师所撰写。

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数学，

总给人以抽象、难懂、套路、需大量练习的印象

其实，以上这些更多的是大家对“解题技巧”的印象

事实上，

对于任何知识（包括数学知识）的理解而言，

比“解题技巧”更重要的是对概念/定理的深度理解

所谓“深度理解”，

指的不是背定义、定理、

或只是粗浅地从字面理解它（这主要还是记忆）

而是指：

从知识的源头、或知识的相应“情境”中，

运用自己的思维，自己“创造”出知识

——至少也要能够“复原”知识创造的过程

因为，所有知识都并非凭空而来的，

它们必然是人类思维的产物

因此，只有掌握了创造知识的思维方式，

这个知识才能被真正理解！

另外，在让学生学习、创造之前，还有一个前提：

需要让学生感受到“意义感”

典型的方法如：

揭示知识与学生个人的联系

知识与真实世界的联系

让学生感受到知识有何价值，等等

正因如此，

如果老师只盯着“知识”层面，

就会成为教材的“传声筒”、知识的“留声机”，

不仅难以激发起学生的动机，

也很难让学生“深度理解”知识。

在此种方式下，

学生即便想学过，

也往往会采用“大量记忆+大量练习”的方式，

而在学生的“学科思维”并没有得到应有的训练！

在当下国内的大中小学中，

除了老师往往只是“教材传声筒”这一问题外，

教材本身主要遵从“专业知识表征”逻辑、

而较少考虑到“学生认知规律”逻辑，

也是一个老生常谈的问题。

——简单说，就是教材一不“说人话”

二不提供“意义感”

三不揭示知识背后的思维方式

因此，很多国内教材被网友戏称为“中国科技进步的滑滑梯”

本来，教材进行专业知识的表述，

也有它的考量和合理性

不过，这就依赖于老师对教学内容进行适当的教学处理

——而在教学现状中，

有些老师完全按照教材“照本宣科”

有些教材内容繁多，都要靠老师来讲，学生也很难全盘接受

（因为教材自学的难度太大，失去了这一可能性）

教学质量可想而知！

无论是从老师易于教学的角度、还是学生易于自学的角度，

优秀的教材是非常重要的！

那么，对于高难度的专业课程，

有没有既能够实现“专业知识表征”，

又能很好地照顾到学生“认知规律”的呢？

本文介绍在线性代数课程中，全世界闻名的MIT Gilbert Strang老爷子和他的新书：《斯特朗线性代数》

关于Strang和他的课程，在王珏老师公众号中已经有多篇介绍，也可参考：

以下介绍文章是 复旦大学数学学院 杨劲根撰写的，从高数专业教师的角度对此书进行评述。

大家可以对照着王珏老师对一般教学原理的阐述进行阅读，在了解《斯特朗线性代数》这样一本优秀教材的同时，相信也能够深化您对如何编写出优秀教材、如何开展优秀教学的理解。

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1 作者与新书

Gilbert Strang是国际上应用数学的大师，学术上有很高的造诣。他是中国改革开放后最早访华的数学家之一，曾任西安交大等校的名誉教授，与中国学者有合作研究。Strang教授为人热情开放，富有幽默感。

除了杰出的科研成就外，Gilbert Strang还写了包括《Linear Algebra and Its Applications》在内的多册大学教材。他的线性代数视频课程是麻省理工学院推出的共享视频课程最早的一部。

3 本教材的特色

本教材是特点鲜明甚至带有个人色彩的教材。和传统的教材写法不同，把定理的证明也用叙事的方式完成，充分表现作者的教学理念。全书的涉及面极广，工程和经济学的应用实例很多。本书对学生有一定要求，所以选用此书作为线性代数教材需要慎重。

下面就本书的一些特点加以详细评述。

3.1 启发式教学

作者写作本教材的初衷是对原来线性代数的教法不满意，从定义到定理的死板的推导已经到了令作者不能容忍的程度。

作者认为线性代数不是抽象的数学，它是具体、生动、有用并且容易懂的数学。所以他放弃抽象的推导，而是向读者用大白话解释线性代数的概念和方法。从例子出发，引导读者一步一步走向深处。

例如在行列式一章，作者并不写出行列式的定义，而从二阶行列式出发，根据行列式需要满足的基本性质使读者自已发现行列式只能这样来定义。

读他的书就觉得在听他讲课，甚至像听故事一样。然而他讲述的是严格而有一定深度的数学。作者在化难为易方面也是下了很大功夫的。

3.2 应用范围广

本书的书名就注定本书包含很多应用方面的内容，特别后半部分主要围绕三个专题：有限元法（这是作者的强项）、数值线性代数、线性规划和最优化。

3.3 内容编排

传统的线性代数教材在较早阶段讲线性变换和它的性质，而把欧氏空间和正交变换放在后面。本书并没有专门的线性变换的章节，在较早阶段就讲解向量的正交性、空间的正交基和正交变换等一些知识，甚至涉及希尔伯特空间和傅里叶级数。而把更一般的线性变换，特别是相似变换，放在后面讲。这符合从特殊到一般的原则。

在线性代数的教学实践中，线性变换一章是一个难点，而正交概念是学生比较容易接受的，这符合从易到难的原则，也更有利于学生培养几何直观。

这样编排的另一个显着的好处是让学生先学到一些最有用的线性代数工具，如最小二乘法、快速傅里叶变换等。

3.4 离散和连续的关系

本书的另一个显著的特点是充分强调连续数学和离散数学的联系，线性代数本质上是离散的数学，而应用数学中的计算把连续的数学问题，主要是与微分方程有关的问题，转化成离散的数学问题。

作者从头开始就不失时机地解释如何把连续问题离散化。例如，作者清晰地解释带形矩阵（即非零元素集中在主对角线附近的方阵）的来龙去脉，使读者知道这种特殊矩阵是从实际问题中产生。这是纯粹线性代数教材未能做到的。

3.5 配套视频教程

麻省理工学院发布的网上第一套视频教程就是由Strang教授本人讲授的线性代数，内容比教材的少一些，基本上和真正的课堂教学差不多。该教程深受学生喜欢。链接如下：

https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/。

4 和我国线性代数教材的比较和启示

我国的线性代数教材比高等数学教材少很多。基本上由代数专业的教师编写，因此内容比较单纯。供非数学专业使用的线性代数教材大部分是数学专业的线性代数教材的简化版，稍难一些的证明省略掉。

Gilbert Strang作为应用数学界的巨头，怀着极大的热情多年从事大学低年级的基础课程教学，并写作这本优秀的极富特色的教材，是难能可贵的。但愿我国的高层次的应用数学或其他学科的学者多关心本科生教学，写出一些有特点的优秀教材。

4.1 代数与几何

由于线性代数是解析几何的自然推广，代数计算和几何意义同等重要，这是数学界的共识。因此任何一本教材都讲矩阵和向量空间，但侧重点有所不同。贯穿本书的一个原则是讲述每一个新的概念和方法时都解释清楚它们的几何意义。

作者认为n维向量空间中的向量是“看得见”的东西，他也试图用生动的解说向读者灌输这种理念，培养学生正确的几何直观。

我国教材中也在这方面也作一定的努力，但还需要改进，因为只要光会计算而没有几何直观是不能理解线性代数的精髓的。

4.2 写作风格

Gilbert Strang的叙事式的写作风格是很难模仿的，但它是值得借鉴的。

4.3 和其他数学的联系

由于美国中学和大学数学课程的设置和内容以及深度和我国有较大的差别，线性代数中应用部分内容的取舍也不一样。

就Strang的教材来看，有些预备知识的起点很低，例如作者假定读者对复数一无所知，书中就从头讲起。而在微分方程方面需要读者有一定的预备知识，这可能因为麻省理工学院历来重视微分方程课程，该课程完全从高等数学课程中分离出来成为单独的一门本科生低年级必修课。我国多数线性代数教材强调内容的自封性，一般把与其他数学分支的联系降到最低限度。